БЕЙЕСА ПРАВИЛО

БЕЙЕСА ПРАВИЛО (Т. Bayes, шотландский математик 18 века) — теорема теории вероятностей, позволяющая уточнить вероятность наступления некоторых событий на основании дополнительной информации о проявлении характеризующих их признаков. Вероятности, подлежащие уточнению, называются априорными; вероятности, определяемые с помощью Бейеса правила после получения дополнительной информации, — апостериорными. Бейеса правило применяется с целью выяснения максимальной вероятности осуществления ряда взаимоисключающих событий. Теорема доказана Т. Бейесом.

На основе Бейеса правила может осуществляться конструирование диагностических систем, дающих возможность определить вероятность того или иного заболевания у конкретного больного.

Хотя в традиционной статистике Бейеса правило не получило распространения, опубликованы работы, демонстрирующие перспективность использования Бейеса правила для принятия решения в процессе диагностики, при выборе наиболее подходящего метода лечения для конкретного больного, а также для оценки данных, полученных в результате обследований с целью максимально возможного исключения субъективных ошибок.

Для решения диагностических задач с применением Бейеса правила необходимо знать количественные значения вероятностей проявления признака или комплекса признаков при данном диагнозе и априорной вероятности самого диагноза (то есть первоначальной вероятности, что у поступившего больного имеется некоторое заболевание, хотя характерный для этого заболевания комплекс признаков еще не выявлен).

Математически вероятность диагноза при наличии комплекса признаков P (Di|K) определяется на основе формулы Бейеса, которая принимает вид:

где P (Di) — априорная вероятность диагноза Di (частота встречаемости больных с диагнозом Di) в общей структуре заболеваемости или в материалах, которыми располагает исследователь на момент постановки эксперимента; P (K|Di) — вероятность проявления комплекса признаков К при диагнозе Di; P(К) — вероятность того, что у больного имеется данный комплекс симптомов К.

Вероятность симптома kj при данном заболевании определяется по формуле:

где nij — количество больных с диагнозом Di, имеющих симптом kj; ni — общее количество больных с диагнозом Di, обследованных по данному признаку.

Величина P (kj|Di) выражает вероятность того, что симптом kj будет обнаружен, если заболевание Di имеет место.

Значения вероятностей отдельных признаков лежат в пределах от 0 до

1. Признак kj будет абсолютно достоверным, если при данном заболевании он встречается в 100% случаев (например, белок в моче при остром нефрите и т. п.). Вероятность такого признака принимается за единицу.

Значения P (kj|Di) могут быть получены из данных медицинской статистики, литературных источников, результатов обработки архивных материалов или собственных наблюдений, а также при помощи вычислений на так называемой статистической модели.

При этом в ряде случаев выборка может быть не репрезентативной и оценка значения P (kj|Di) разными специалистами не одинакова, так как не имеется данных относительно значений P (kj|Di) для большинства заболеваний. Эдвардс, Линдман и Саведж (W. Edwards, H. Lindman, L. Savage, 1963) показали возможность использования заключений квалифицированных специалистов для оценки значений P (kj|Di) при отсутствии документированных статистически достоверных данных.

Величина P (Di) — априорная вероятность диагноза до того, как собраны сведения о клинических проявлениях заболевания. Значение величины P (Di), как и P (kj|Di), в большинстве случаев определяется на основании оценки имеющегося документированного опыта; в отдельных случаях могут использоваться клинические суждения компетентных специалистов. В отличие от значений P (kj|Di), эмпирически или статистически определяемые значения P (Di), полученные для одних и тех же диагнозов в зависимости от использованных материалов различных клинических учреждений или суждений специалистов, могут значительно разниться. Поэтому необходимость оценки величины P (Di) может явиться источником противоречий и трудностей при применении Бейеса правила в медицинской диагностике. Ледли и Ластед (R. Ledlay, L. Lusted, 1961) видят причину относительного постоянства величины P (kj|Di) для каждого конкретного диагноза в том, что эта условная вероятность в известной степени независима (по терминологии Ледли и Ластеда) от «местных окружающих факторов» (географический район, время года и т. п.) и в первую очередь выражает «физиолого-патологические аспекты самого заболевания». На формирование значений величины P (Di), напротив, в значительной степени влияют «местные факторы». Вместе с тем Мостеллер и Уоллес (F. Mosteller, D. Wallace, 1964) установили, что нек-рая неопределенность значений величины P (Di) не оказывает существенного влияния на конечный результат.

Практическое применение Бейеса правила в диагностике требует составления диагностических таблиц (или так называемой медицинской памяти диагностических систем), содержащих значение вероятностей проявления признаков для данной группы заболеваний (табл. 1).

При применении Бейеса правила в медицинской диагностике необходимо, чтобы заболевания были взаимоисключающими; различные признаки (симптомы) рассматриваются как независимые при условии заболевания Di (так называемый принцип условной независимости признаков), так как невозможно вычислить вероятность комбинаций заболеваний по данным о частотах симптомов для каждого из заболеваний в отдельности. Хотя симптомы любого заболевания находятся в прямой или опосредованной причинно-следственной зависимости, принцип условной независимости признаков, обеспечивающий возможность использования Бейеса правила, в большинстве случаев не вносит существенного искажения в конечный результат. Это, в частности, подтверждается исследованиями Уорнера (H. Warner, 1961), Лодвика (G. Lodwick, 1965) и математически доказано М. Л. Быховским (1967). Если обратиться к примеру, приведенному в таблице 1, то в соответствии с принципом условной независимости признаков

Принцип расчета не меняется при отсутствии одного из признаков.

Результаты расчета примера, рассмотренного в таблице 1, при наличии

Подставляя в приведенные формулы численные значения из таблицы 1, получаем значения P(KiDi) и

P (К) при наличии всех признаков:

Далее определяем вероятность диагнозов D1, D2, D3 по формуле Бейеса

всех признаков и при отсутствии одного из них приведены в таблицы 2. Сумма всех вероятностей равна единице.

Для диагностики по Бейеса правилу используются не только простые, но и сложные (многоразрядные) признаки (например, систолическое артериальное давление: нормальное, повышенное, пониженное).

На основе Бейеса правила в СССР и за рубежом разработаны диагностические системы, в частности в СССР — диагностическая система Института сердечно-сосудистой хирургии АМН СССР им. А. Н. Бакулева. Бейеса правило может использоваться при диагностике с помощью цифровых и электронных вычислительных машин (см. Диагностика машинная).

См. также Вероятностей теория.

Таблица 1. СХЕМА ДИАГНОСТИЧЕСКОЙ ТАБЛИЦЫ (по Т. Б. Постновой, 1972)

Таблица 2. ВЕРОЯТНОСТИ ДИАГНОЗА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ КОМБИНАЦИЯХ ПРИЗНАКОВ

Библиогр.: Ластед Л. Б. Введение в проблему принятия решений в медицине, пер. с англ., М., 1971, библиогр.; Лед-ли Р. М. и Ластед Л. Медицинская диагностика и современные методы выбора решения, в кн.: Математические пробл. в биол., под ред. Р. Беллмана, пер. с англ., с. 141, М., 1966, библиогр.; Постно-в а Т. Б. Информационно-диагностические системы в медицине, М., 1972, библиогр.

Я. А. Коган, А. М. Сточик.